La conjunción on condition that la hemos presentado ya en el Capítulo 19.4.4.

on condition that =a condición de que
On condition that you pass your last exam, you can have the job as my assistant.
A condición de que apruebes tus exámenes puedes trabajar como asistente mío.
We might finish the job today on condition that we work harder.
Podemos terminar el trabajo hoy a condición de que trabajemos más duro.
Mary will give me money on condition that I pay it back within the year.
Mary me dará dinero a condición de que se lo devuelva en un año.